jueves, 3 de junio de 2010

TEMARIO EXAMEN GRADO MATEMATICAS 3 CC

MATEMATICAS

TEMARIO PARA EVALUACION DE GRADO 2009 - 2010


PROFESOR TITULAR:ING RENE CODENA
PROFESOR DELEGADO: ING. WILLIAM OREJUELA



OBJETIVO

Informar a los jóvenes estudiantes de Tercero Bachillerato, los temas y las características sobre los cuales versará el seminario de grado, a través de un listado de contenidos con sus respectivas indicaciones generales, con lo cual se permitirá que el estudiante pueda prepararse con anterioridad a dicha evaluación para que los resultados sean óptimos.

JUSTIFICACION

El paradigma de la evaluación esta siendo tratado en educación, en todos los niveles, ya que se desea que el llamado examen no sea una herramienta que el profesor posee frente a los estudiantes. Hoy en día la educación en el paradigma humanístico considera la evaluación no como el fin de un proceso sino más bien como el comienzo de otro en el cual se realice las correcciones respectivas.



INDICACIONES GENERALES

 El examen final consta de cinco partes: aritmética básica, álgebra básica, álgebra superior, test numérico, matemática superior.

 El puntaje del examen de grado es sobre 20.0 que será calificado de la siguiente manera: aritmética básica 2.0 puntos; álgebra básica 2.0 puntos; álgebra superior 2.0; test numérico 2.0; matemática superior 12.0 puntos.

 Se entregara un banco de ejercicios ,de acuerdo al listado de contenidos y bibliografía presentada, con la siguiente información:.
Exámenes de años pasados; copias de test numéricos, copias de aritmética de Baldor, libro de introducción a las funciones de Ing. Mauricio Rojas(usado en el primer quimestre y segundo quimestre, misceláneas de los libros Mancill 1 II

. No existe el seminario de grado, sólo guías de supletorio, el estudiante debe revisar y repasar la información proporcionada. El maestro estará como fuente de algún tipo de consulta por parte del estudiante.

CONTENIDOS

 En aritmética básica se evaluara proporciones, tanto por ciento menos, problema de operaciones básicas con decimales, regla de tres compuesta.

 En álgebra básica constara de ejercicios de factoreo, simplificación de expresiones algebraicas usando factores en operaciones de multiplicación y división, un ejercicio de despeje.


 En álgebra superior: ejercicio de ecuación cuadrática, problemas cuadráticos, binomio de newton, simplificación de exponentes en operaciones de suma resta y división.

 Test numérico: problema de razonamiento, sucesiones, porcentaje.


 Matemática superior: leyes de los logaritmos aplicado a ecuaciones, ecuaciones exponenciales, inecuaciones con valores absolutos, demostración usando las leyes de la lógica, operación de conjuntos en diagramas de venn, funciones.


 Funciones se evaluara todo lo visto en tercero de bachillerato, es decir se tomara cualquier ejercicio realizado en clase.

 Se evaluara LIMITES Y DERIVADAS
BIBLIOGRAFIA

Los ejercicios del examen serán elegidos de la siguiente bibliografía:

 Baldor, Aritmética,
 Baldor, Algebra
 Rojas Mauricio, Introducción a las funciones, EPN,1999,Quito Ecuador
 Varios, Test 2003 Politécnica Nacional, EPN,2003 Quito Ecuador.
 Mancill, Álgebra tomos 1 -2,editorial Kapeluz, Buenos Aires.
















I. ARITMETICA BASICA

A )las cuatro operaciones fundamentales con números reales
Esta subparte se evaluara sin calculadora

Ejercicios de fracciones:


a) 7 1 – 5 1 + 6 1 – 6 1 + 6 1
2 4 8 6 9













b) 8 + 3  4 1
4 5








c) 2/5 + 3/10 – 1/20
2/3 + 1/9 + 5/6












d) __ 5 .
6 + 1/3 – 1/5
3





e) 0.132  132








f) ( 0.03 + 0.456 + 8 ) x 6
25.458











g) 0.5x3+0.60.03+0.5
0.088+0.10.1–0.01









h) 1 + 1 + 1 x 0.3
0.1 0.01 0.001














i) 0.25 + 1 + 0.565656....
9








j) 3.2 – 2.11... + 3.066..
2.2 – 1.166.. + 2.033..















B) Aritmética básica aplicada



1.- siendo a+b=40 , a-b=30, c+d=50. Cuánto vale c-d






2.- Si ganara $150 mas al mes podría gastar diariamente $650 y ahorrar mensualmente $640 . Cuál es mi sueldo mensual? (30 días)






3. Tres veces un numero menos siete es 32¿Cuál es dos veces ese número?
(a)13 (b)17 (c)26 (d)32 (e) 39
Justifique su respuesta.







4. 10% de R=20%S; 20%S=30%T; 100% deR=X% de T; X=?
(a)20 (b) (c) (d)300 (e) 40
Justifique







5.-Se emplean 14 días en hacer una obra de 15 m de largo, 8m de ancho y 4,75m de altura, a razón de 6 horas de trabajo cada día. Si se emplean 8 días en hacer otra obra del mismo ancho y de doble de largo ,trabajando 7horas diarias y siendo la dificultad de esta obra los ¾ de la anterior Cual es la altura de la obra?








6. a, b y c están en una proporción 1:3:2. Hallar b.
(a)30 (b)50 (c)60 (d)90 (e)120
Justifique










7. Para hacer una ensalada de tuna, la receta dice que se debe mezclar dos tazas de pescado con de cuchara de apio picado finamente. ¿Qué cantidad de apio se necesita para preparar ocho tazas de ensalada de tuna?
(a) (b) (c) (d)2 (e)4
Justifique








8. ¿Cuál es la nota que recibió en su primer examen si las demás notas fueron 70, 80, 90 y la nota promedio de las cuatro fue 75
(a)60 (b)75 (c)85 (d)90 (e)100
Justifique








9. A debe a B $70 y B debe $60 a A. Si A le da a B un billete de $50 ¿Cuántos dólares debe devolver B a A
(a)10 (b)20 (c) 30 (d)40 (e) 60
Justifique







10. 9% de qué número es 27
(a)24 (b)30 (c)243 (d)300 (e) 330
Justifique












11. Hallar el valor exacto (utilice fracciones) de la siguiente operación con números decimales,


no usar calculadora







12. Qué parte de 25 centavos son dos centavos. 5 centavos y 10 centavos. Justifique su respuesta.

(a) (b) (c) (d)










13. El salario de una persona es $D por mes y cada mes gasta $a. ¿Qué fracción de su salario ahorra?, Justifique su respuesta.
(a)D-a (b) (c) (d) (e)









14. Si , y , halle a en términos de x, y b. Justifique su respuesta.

(a)x +b (b) (c) (d) (e)












15. Hay 45 alumnos en la clase de física. Si los dos tercios de los alumnos son hombres y la mitad de los hombres son de ojos azules ¿Cuántos alumnos son de ojos azules? Justifique su respuesta.


(a)15 (b)30 (c)34 (d)38 (e)43









16. De las siguientes expresiones cuál es equivalente a: Justifique su respuesta.


(a) 1 (b) (c) (d) (e) E






17.- En un corral hay conejos y gallinas. Juan cuenta las cabezas y las patas obtenidas 30 y 80 respectivamente. Cuantas conejos y gallinas hay en el corral






18- La masa del electrón es igual a 9.108 x 10 –32Kg. Si esta cantidad esta expresada como 9.108 x 10 k gramos
Entonces el valor de k es?





19.- Si respondió correctamente 80 de 400 preguntas, entonces el porcentaje d error es:







20. ¿Cuál es el valor de x si
(a) (b) (c) (d) -1 (e)
Justifique
21. Si y Cuál es s expresados en términos de t
(a) (b) (c) (d) (e)
Justifique





SUCESIONES NUMÉRICAS
Hallar el término que continúa o falta en c/u

8; 11; 16; 23...........
40, 30, 22, 16,12.........
3,3.6, 18.........
20, 5, 25,31...........
8, 1, 9, 5, 11, 10, 14, l6, x, y.........
2, 4, 8, 16...........
7 10 16 25
4, 6, 11, 19 ,30.........
5,6,4,7,3,8,x, y 5,7,9,13,25........
4, 1, 1, 4, 64.........
8 9 11 14..........
5, 7, 11,17...........
2, 6, 11, 18, 28........
4, 2, 7, 0, 0, 8, 1, 8, 6........
5,41,149,329,581,x 580,606,65,37,90,x 17,33,65,129..........
3, 8, 25, 61, 125, 228........
3; l; 2; 6; 4; 9; x; y
2, 5, 7, 11, 14, 17
a) 10 b)9 c)7 d)8 e)6
26, 18, 10, 2,?
a) -6 b)4 c)0 d) 1 e>4
4, 8, 7, 14, 13, 26, 25, x
a) 48 b) 54 c) 72 d) 50 e) 38










TEST 2001- HACIA EL ÉXITO EN SU INGRESO A LA UNIVERSIDAD




TEST No. 13 NUMÉRICO SERIES 2
SERIES TOMADAS DEL LIBRO DE LA POLITECNICA NACIONAL
1. Qué número sigue en la siguiente seria: 3 9 27 81
A B C D
243/32 162/32 162/48 NINGUNA
A B C D

2. Qué número sigue en la siguiente serie: 3 5 4 6 5 7
A B C D
6 13 15 16
A B C D

3. Qué número sigue en la siguiente serie:
1,3,6,18,36,108…
A B C D
212 218 216 220
A B C D
6. Qué número sigue en la siguiente serie:
1,6,30,120,360,720,
A B C D
360 1080 720 120
A B C D 1 2 3 4

7. Qué número sigue en la siguiente serie:
15, 30, 25, 50, 45, 90……
A
B
C
D

85
180
95
45

A B C D
8. Qué número sigue en la siguiente serie: 24, 23, 21, 18, 14, 9......
A
B
C
_ D

6 5 1
3


9. Qué número sigue en la siguiente serie
8, 10, 14, 16, 20, 22,…
A B C D
30 26 28 24
A B C D

10. Qué número sigue en la siguiente sucesión:
15, 5, 13, 7, 11, 9, 9, 11….
A B C D
10 13 7 6
A B C D

11. Qué número sigue en la siguiente sucesión:
160, 80, 100, 50, 70…
A B C D
45 35 15 55
A B C D

12. Qué número sigue en la sucesión:
21, 47, 17, 49, 14, 52, 12…
A B C D
14 50 52 56
A B C D

13. Qué número sobra en la sucesión:
6, 26, 8, 24, 12, 20, 19, 14…
A B C D
O 17 18 19
A B C D

14. Qué número sobra en la sucesión:
8, 33, 12, 30, 16, 27, 24, 26,….
A B C D
24 28 16 30
A B C D

15. Qué número sigue en la sucesión
73, 63, 55, 49, 39, 31, 25, 15,…
A B C D
9 7 18 13
A B C D

16. Qué número sigue en la sucesión:
3, 9, 18, 18, 54, 108, 108,…
A B C D
432 162 324 216
A B C D

17. Qué número sigue en la sucesión:
9, 15, 27, 41, 61,…
A B C D
66 83 75 67
A B C D

18. Qué número sobra en la sucesión: 4,
7, 14, 17, 34,…
A B C D
37 41 68 102
A B C D

19. Qué número sobra en la sucesión:
3, 12, 8, 24, 21. 42….
A B C D
45 38 84 40
A B C D

20. Qué número sigue en la sucesión:
2, 14, 24, 32, 38, 42…
A B C D
48 46 4 52
A B C D



II ÁLGEBRA BASICA
Factorar
1.




2.


3.


4.



5.



6.


7.








8. x - y






3. Simplificar















4. Despejar m:










III ÁLGEBRA SUPERIOR
1.- Hallar el valor de x:






3.- Hallar el término medio de






4.- Simplificar







5.Simplificar



























V. MATEMÁTICA SUPERIOR

INECUACIONES.-

1. Indicar si es verdadero o falso:
(0,5 punto)
, para x < 95











2. Cuál es el conjunto solución:
(2 puntos)
,
3. La solución de la siguiente desigualdad es
(a) (b) (c) Reales (d)Vacío (e) ninguna















5.-








CONJUNTOS


4.- Sean los conjuntos


Graficar y definir:





5.- Escriba el producto cartesiano que se observa en el gráfico















En las siguientes preguntas, marque la respuesta correspondiente:
1. Si R = a,b S= a,c,d y T = b,c luego R  (S U T) es igual a:
A B C D
b
C a,b,c,d
a,b

A B C D


2. Si R = 1 . S - 1,3 . T = 2,3,4 y W = 1,2,3 luego, es falso que:
A B C D
R U S = W R  T =  R S W R  S   W
A B C D





18. Si S= 1,2 . T - 2,3 y V = 3,4 luego ( S T) u (V – T)
A B C D
1,2,3,4
2,3
1,3
2,4

A B C D E

19. Si S U Y = T entonces:
A B C D
S- 1,2
T 2,3
S - 1,2
T 2 S - 1,
T 1, 2
S - 1
T 2

A B C D E

20. Si S = 1, 2, 3, es falso que:
A B C D
l € S l S
2 € S 2,3 S

A B C D E

17. Sea el conjunto A = a,  a ,a,b
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdad?
A B C D E
a  A
a,b  A
a  A a,b € A
Ninguno
A B C D E

18. Sea el conjunto A = -2, 1, 2
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdad?
A B C D E
A  U A  A A  = U Ninguno
A B C D E

19. La negación de: “Todo alumno inteligente estudia en esta escuela”, es
A ningún alumno inteligente estudia en esta escuela
B algunos alumnos no inteligentes no estudian en esta escuela
C todo alumno no inteligente no estudia en esta escuela
D algunos alumnos inteligentes no estudian en esta escuela
E ninguna





LOGARITMOS:

1. Cuál de las siguientes expresiones no es verdadera
(a) (b) (c) (d)

Justifique
2. Si, entonces escoja una de las siguientes afirmaciones, como respuesta a lo anterior:
(a) (b) (c) (d)















Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales:

3. log3 (2y-1)-log3 (5y+2)=log3 (y-2)-2






4. 2e3x-4e-3x-7=0










5.- Convertir en un solo logaritmo (antilogaritmica)









6.- ECUACIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIALES
1.- Resolver la ecuación:








2.- Resolver la ecuación:








3.- Resolver la ecuación:








4.- Resolver la ecuación:








5.- Resolver la ecuación:





6.- Resolver la ecuación:








7.- Resolver la ecuación:








8.- Resolver la ecuación:









9.- Determinar al menos un x tal que:








10.- Resolver la ecuación:

11. Resolver la ecuación:








12._ Resolver la ecuación:







13._ Resolver la ecuación:








14._ Resolver la ecuación:








15._ Resolver la ecuación:









16._Resolver la ecuación:
Poner








17._ Resolver la ecuación:









18._ Resolver la ecuación:









19._ Resolver la ecuación:








20._Resolver la ecuación:








21._ Resolver la ecuación:
Dominio








22._ Resolver la ecuación:








23._ Resolver la ecuación:








24._ Resolver la ecuación:



































RELACIONES Y FUNCIONES.


1. En la función f(x)= , x no puede valer.


a) 3,62 y 1.38 b) 0,25 y 1,37 c) 5,20 y-7,8 d) 3,15 y 6,24 e) 10,2 y 2,3

JUSTIFIQUE








2. Dadas las relaciones:




Entonces, la o las que tienen dom = {3,4,5} y rec = {3,4,5} es o son:

a) solo b) solo c) solo d) y e) y

justifique






3.- Sean:

Determine y grafique
a)
b) Es una función si o no y porque
c) Cuál es el dominio?
d) Cuál es el recorrido?
















3. Sea
Realizar lo siguiente:
a) Indicar si es función o relación
b) Hallar el dominio y el recorrido
Se recomienda graficar















4. Sea realizar lo siguiente: (20 puntos)

a. Graficar
b. Hallar su dominio
c. Hallar su recorrido























5. Considerando la función f(x) =3x2-2x+4. Hallar f (x +h)






6. .En los siguientes diagramas cuál es función y cuál no?

A B
............................


A B .



...................................


A B

...............................







7. Determine cuáles de los siguientes diagramas representan una función inyectiva.

A B



A B



A B



A B




A B



8. En las siguientes reglas de asignación, cuáles representan funciones inyectivas?

1. A cada letra del abecedario le nombramos vocal o consonante
2. A cada país le asignamos su capital .
3. A cada número real le corresponde otro número real de signo Contrario.
4. Todo plato en la carta de un restaurante, con su respectivo precio
5. A cada automóvil se le identifica por su placa

6. A la raíz cuadrada de cada número entero positivo asignarle su valor. Cada número real está asociado con su valor absoluto





9.Sea la función y = f(x)= defina en el intervalo
-3 < x ≤ 3, Determinar:

a) f(0)=




b) f(-3) =







c) f(x-2a) =























10.- Hallar el dominio de: a)






b)





c)




11.- Dadas las funciones:

Determinar la función:












12- Sea (30 ptos)
Realizar lo siguiente:
c) Indicar si es función o relación
d) Hallar el dominio y el recorrido
e) Si es una relación convertir en función
f) Si es una función convertir en función inyectiva
g) Hallar su función inversa
h)







13- Sea (30 ptos)
Realizar lo siguiente:
i) Indicar si es función o relación
j) Hallar el dominio y el recorrido
k) Si es una relación convertir en función
l) Si es una función convertir en función inyectiva
Hallar su función inversa
























14.- Sea (30 ptos)
Realizar lo siguiente:
m) Indicar si es función o relación
n) Hallar el dominio y el recorrido
o) Si es una relación convertir en función
p) Si es una función convertir en función inyectiva
q) Hallar su función i






















PREGUNTAS TIPO EVALUADAS EN EXAMENES DE GRADO DE AÑOS ANTERIORES


I ARÍTMETICA BÁSICA Y PREGUNTAS DE TEORIA


I PARTE ARITMETICA BASICA
APLICACIÓN DE PRINCIPIOS
Realizar los siguientes ejercicios sin la utilización de calculadora (1.0 ptos c/u)
1) 8 + 3  4 1 - 3
4 5











2) ( 8.006 + 0.452 + 0.15 )  0.1
( 8 – 0.1 + 0.32 ) x 4








3)
3.2 – 2.11... + 3.066..
2.2 – 1.166.. + 2.033..














4) Encuentre el verdadero valor de las siguientes fracciones que aparentemente se reduce a la forma 0/0 :


am + bm – 2an – 2bn
para m = 2n
am + m - 2an –2n





















1) =


















2) del doble de la mitad de los














3)



















1) 2/5 + 3/10 – 1/20 + (0.1515... – 1/33)
2/3 + 1/9 + 5/6











2) Realice las operaciones con las cantidades algebraicas fraccionarias siguientes:



1 + 1 1 - 1
b ab b+1 a ab + a
+ - 1 : - 1
1 + 1 b + 1 b + 1 ab+ 1
ab a a




































3) +





























A. COMPLETAR
(0.5 ptos)
1.- Un número irracional se define como ..…………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
2. Los conjuntos pueden determinarse por …………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. La definición matemática de diferencia de conjuntos es.................................
…………………………………………………………………………………………….

4. El conjunto finito es aquel que ...................................................................
…………………………………………………………………………………………….

5. La solución de la siguiente operación ] -3, 3 ]  [ 0, 5 [`con intervalos es
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



.6. Escriba el producto cartesiano que se observa en el gráfico






3

2

1


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6




7.- Numero complejo se define como............................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
8. Matemáticamente la operación complemento de conjuntos se define ………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9.- El número  pertenece..............................................................................
10.-El conjunto D = { ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 } expresado por comprensión es…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11. La solución de la inecuación 4x + 11 < 4 (x – 1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
B Preguntas de opción múltiple:
1.- La relación es una relación de tipo lineal?
Si NO (0.5 puntos )
Porque..................................................................................................................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………..






I. Complete: (CUALQUIER MANCHON TINTA CORRECTORA ANULA SU RESPUESTA) (5 ptos c/u EXCEPTO LA PREGUNTA 5)
1.La definición matemática de la unión de conjuntos es:
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

3. Expresar por tabulación el siguiente conjunto A= { x/x N;4x + 11 > 4(x – 1) }.
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. Realice un cuadro sinóptico de la clasificación de los conjuntos (10 PUNTOS)

I. COMPLETAR:
(CUALQUIER MANCHON TINTA CORRECTORA ANULA SU RESPUESTA) (0.3pt c/u)

1.La relación corresponde a la cónica llamada........................................

2. Un diagrama de venn es ................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. El conjunto formado por los elementos que se pueden contar se llama......................................................................................................................

4. ¿ Cuál es el valor de a y b para que los siguientes pares ordenados sean iguales?
( a + b ; -a + 2b ) ; ( 2a – b ; b – a )

…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
5. La solución de la siguiente operación con intervalos es ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….........................

6- At a certain pet shop, 1/3 of the pets are dogs and 1/5 of the pets are birds. How many pets are dogs?

1) There are 30 birds at the pet shop
2) There are 20 more dogs than birds at the pet shop

a. Statement 1 alone
b. Statement 2 alone
c. Both statements
d. Each statements
e. Statements 1 and 2
……………………………………………………………………………………………….............
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.
7.El número pertenece …………………………………………………………
…………………………………………………………...……………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8- El producto cartesiano se define como …………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. Reducir a su mínima expresión (0.6 puntos ) …………………………………………………………………………………….
.................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I. Complete: (CUALQUIER MANCHON TINTA CORRECTORA ANULA SU RESPUESTA) (6pt c/u)

3. La expresión verbal o escrita de un juicio se denomina.................................................
4. ¿ Cuál es el valor de a y b para que los siguientes pares ordenados sean iguales?

(a-2, -3); (2 a+1, b-2)
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5. Al negar la siguiente proposición se obtiene ............................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………
6- La solución de la inecuación 4x + 11 > 4(x – 1)





II LOGICA

1-Reducir a su mínima expresión utilizando las leyes de la lógica (8 puntos):
...........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………… . …………………………………………………….………………..………………………….
……………………………………………………………………………….………………………
2.- Determinar el valor de verdad de m y el valor de n si se conoce que: ( 6 puntos)
es falso
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….





II. CONJUNTOS
1- Considérese los siguientes conjuntos numéricos: N = Naturales, Z+= Enteros positivos, Z-= Enteros negativos, Q = Racionales, Q = Irracionales, R = Reales.
En las afirmaciones indicadas escriba en el espacio en blanco según sea el caso, para que la expresión sea correcta (10 puntos)
a) b) c)
d) e)

3.- Dado el conjunto M = { ( 1, 2 ), ( 3, 4 ), ( 5, 6 ) }. Verificar si es verdadero o falso: (justifique su respuesta) 10 puntos

a. { ( 1, 2 ), ( 3, 4 ) }  M ________________




b. ( 3, 4 )  M ________________




c. ( 2, 1 )  M ________________




d. { ( 1, 2 ), ( 5, 6 ) }  M ________________





e. { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  M ________________

5.- Sean los conjuntos A = -2, -1, 0, 1; (12puntos)
B = -1, 0, 1; C = -2, 2.

El conjunto formado por A x ( B  C) es ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
6.Función inyectiva es ....................................................................................................
........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
B Preguntas dicotómicas 6 ptos c/u
Lea detenidamente, responda V o F y justifique. Cualquier manchón o corrector anula su respuesta.
1.-A U B = (A U ) U ( B U )


2.- 16 – (x – y )2 =(4 – x + y) (4 + x + y) ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
3.- Inecuación es una igualdad que tiene incógnitas ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
4.- La solución de la inecuación 4x + 11 > 4(x – 1) es vacío ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. Diga si es o no función sobreyectiva

A B

....................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

DESARROLLO


I. Complete: (CUALQUIER MANCHON TINTA CORRECTORA ANULA SU RESPUESTA) (5 ptos c/u)

1. Una CONTRADICCION se define como...................................................................... .............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

3.- Juicio es ……………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
4. Conjunto es……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………..
5.- p  F =.............................................

7. Numero se define como ………………………………………………………………. 8.Escriba cuatro operadores lógicos que se utilizan en la lógica matemática:
a).................................................... b)................................................. c).................................................. .d)................................................



II RELACIONAR ( 2 puntos cada casillero correcto)
Las afirmaciones de la primera columna tienen su correspondiente en la segunda columna, lea detenidamente y responda en el cuadro de respuestas, cualquier borrón, mancha, tinta correctora anula su respuesta
1 F v F a V
2
b ={20 }
3 V F
c F
4 F F
d ={19 }
5
e ={ 18}
6 G={la cantidad de provincias del Ecuador} f ={ 2,-2}
7
g ninguna
8 V ^ F

Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8

………..

………..

………..

………..

………..
.
………..

………..

………..


III LOGICA

1-. Sean las proposiciones: P: 2 es número natural Q: 2 es número entero
Traduzca en palabras comunes las siguientes proposiciones, y establezca el valor de verdad de cada una de ellas (6 puntos):
…………………………………………………….………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………


I Verdadero o Falso 5 ptos c/u
Lea detenidamente, responda y justifique. Cualquier manchón o corrector anula su respuesta.
1.- Juicio es la expresión verbal o escrita de un enunciado ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
2.- p  F = V ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
3.- 16 – (x – y )2 =(4 – x + y) (4 + x + y) ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
4.- Inecuación es una igualdad que tiene incógnitas ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
5.- Un intervalo es una representación geométrica que utiliza diagramas de veen para indicar los elementos que el contiene ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
6.- Contradicción es usado en la lógica para indicar que todos las respuestas de una tabla son verdaderas ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
7.- La solución de la inecuación 4x + 11 > 4(x – 1) es vacío ( )
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

II. Complete 7 ptos
1.-Tautología es............................................................................................................
............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
3.- La solución de la ecuación 5y3 – 50 y =0 es..................................................................
............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
4.- La solución de la ecuación 2(x + 1)2 – 3(x + 1 )=0 es.................................................
............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................


5.- ]-3 ; 2[ - [-1;2)=..........................................................................................................
............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
6.- La solución de la inecuación 5(x-1) < 5x + 4 es.........................................................
............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

I. Complete: (6 ptos c/u)

1. Una tautología se define como...................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
2. Escriba cuatro operadores lógicos que se utilizan en la lógica matemática:
a).................................................... b)................................................. c).................................................. .d)................................................

2. Un intervalo finito es.................................................................................................. ……………………………..............................................................................................................................................................................................................................................

3.- Inecuaciones lineales son...........................................................................................
...........................................................................................................................................

4.Inecuaciones racionales son...............................................................................
...........................................................................................................................................


2.- Demostrar la siguiente equivalencia lógica mediante leyes

I. Complete: (CUALQUIER MANCHON TINTA CORRECTORA ANULA SU RESPUESTA) (5 ptos c/u)
5.- p  F =.............................................
6.- Tabulación es............................................................................................................
…………………………………………………………………………………………
7. Numero se define como ………………………………………………………………. 8.Escriba cuatro operadores lógicos que se utilizan en la lógica matemática:
a).................................................... b)................................................. c).................................................. .d)................................................


5.- Sean los conjuntos
U = x/x pertenece a Z ; -3 < x < 4

A = -2, -1, 0, 1; (10puntos)

B = -1, 0, 1; C = -2,-1, 2.

Hallar analíticamente El conjunto formado por A ` - ( B  C) es ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Como se clasifican las relaciones conicas? ......................................................................................................................................................................

¿ Cuál es el valor de a y b para que los siguientes pares ordenados sean iguales?

(3a + 4, 3b + 2); (-a, 1+ b)




3.- Demostrar por tablas y por leyes: (8 puntos)

( p  q )  ( p  q )  ~ ( p  q )


DESARROLLO

I. Complete: (8 ptos c/u)

4. La relación corresponde a la cónica llamada........................................
...........................................................................................................................................
5.- La relación es una función? si o no.....................................
Porque..............................................................................................................................
II PROBLEMAS


AÑO LECTIVO 2007-2008

UNIDAD EDUCATIVA BILINGÜE THOMAS JEFFERSON


Preparado por : Ing .William Orejuela




2.- Considérese los siguientes conjuntos numéricos: N = Naturales, Z+= Enteros positivos, Z-= Enteros negativos, Q = Racionales, Q = Irracionales, R = Reales.
En las afirmaciones indicadas escriba en el espacio en blanco según sea el caso, para que la expresión sea correcta ( 0.5 puntos c/u)
a) b) 2i+3,5 ____________R
c) d)
e)

3.- Each year Mark works 40 hours per week for 50 weeks. Last year Mark was paid a total of $20,000. If this year his hourly pay rate is raised by $0,50, what is the total amount that Mark will be paid this year?
a. $30,000
b. $25,000
c. $22,500
d. $21,000
e. $20,020
(1.5 points)
Explain your answer








4. Justifique cual de las siguientes operaciones representa el área rayada:

a. [ C`  ( A  B ) ]  [ ( B  C ) – A ]  [ ( A  C )  B` ]
b. [ ( B  C ) - ( A  B  C ) ]  [ A - ( B  C ) ]  [ A´  ( B  C ) ]
c. [ C – ( A  B  C ) ]  [ ( B  A)´  C ]
d. Ninguna de las anteriores
(0.5 PUNTOS)

4. Justifique cual de las siguientes operaciones representa el área rayada:

e. [ C`  ( A  B ) ]  [ ( B  C ) – A ]  [ ( A  C )  B` ]
f. [ ( B  C ) - ( A  B  C ) ]  [ A - ( B  C ) ]  [ A´  ( B  C ) ]
g. [ C – ( A  B  C ) ]  [ ( B  A)´  C ]
h. Ninguna de las anteriores









C RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1. Dados los conjuntos:
A = x   / ( -3  x  -1 )  ( -  x  -2)  ( 2  x  5 ) ,
B = ( C  D)´,
C =  -, -2    3, - ,
D =  -3 , 0    -1 , 2 . Determinar los conjuntos A y B, graficar A x B (1.5 PUNTOS)












2.- Sean los conjuntos A = { -1 , 0 , 1 }; B = [ -2 , 2 ]; C= {-1 , 1 }. Determinar y graficar:

( A * B ) - ( C * B )

(1 PUNTO)



3.- De una investigación realizada sobre las revistas que más leen las amas de casa de la ciudad de Quito se encuentra que: 34% lee Vanidades, 30% Buenhogar, 35% lee Cosmopolitan, 13% lee Vanidades y Buenhogar, 9% lee Buenhogar y Cosmopolitan, 9% únicamente Vanidades y Cosmopolitan, 32% no lee ninguna de las tres revistas y 5% lee las tres revistas.

a. ¿Qué porcentaje lee al menos dos revistas?
b. ¿Qué porcentaje si lee Vanidades no lee Buenhogar?
c. ¿Qué porcentaje lee únicamente una de las lee revistas?

(1.0 PUNTOS)



















6.-
Sea (2.ptos)
R R
x
Realizar lo siguiente:
r) El conjunto de partida
s) El conjunto de llegada
t) El dominio de la relación
u) El recorrido de la relación
Se recomienda graficar














2. Empleando el algebra proposicional indicar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (10 PUNTOS)




jUSTIFICAR








III PROBLEMAS (15 PUNTOS C/U)

1.- Sean los conjuntos A = -2, -1, 0, 1;
B = -1, 0, 1; C = -2, 2.
U = -2,-1,0,1,2,3,4;
El conjunto formado por  A - ( B  C) ´  ∩ (C – A ) ´
es .










4.- Dados Hallar y graficar (15 puntos)





3.- De una encuesta a un grupo de 78 estudiantes se ha obtenido el siguiente diagrama, en donde:
G={estudiantes que aprueban geometría} ; C = { estudiantes que aprueban cálculo } y F = { estudiantes que aprueban física }
Determinar el número de estudiantes que aprueban y Representar los resultados como operación de conjuntos:
a) Una de las tres materias ………………………-……………………………………
………………………………………………………………………………………………….
b) Sólo geometría …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….

c) cálculo y física ………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….

d) cálculo y física pero no geometría ………………………………….
………………………………………………………………………………………………….

e) Ninguna de las tres …………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….


.








II OPCIÓN MULTIPLE

2. De la siguientes relaciones, escoger cual representa una parábola: (0.3puntos)
a) x + 3y = 7 b) 2 X2 - 3x =0 c) (x-2) (x-3) = y+2
justifique su respuesta










3- Dados los conjuntos { Ø }; Ø; { 0 }, ELIJA la respuesta adecuada

3.1. { 0 } es un conjunto vació ( 0.2 ptos)

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA

3.2. Ø { Ø } (0.2puntos)

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA





3.3 Ø { Ø } (0.2 puntos)

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA










3.4. { Ø }no es un conjunto unitario (0.2 puntos)

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA








4..Encierre en un círculo dos inecuaciones lineales (0.2 puntos)
a) 8X –5 >= 2+ 9X b) _3_ + 5 = X2 c) 5 - X - 2< 3
X

Justifique su respuesta











2- Considérese los siguientes conjuntos numéricos: N = Naturales, Z+= Enteros positivos, Z-= Enteros negativos, Q = Racionales, Q ´ = Irracionales, R = Reales.
Indique LOS CONJUNTOS de la columna izquierda que son SUBCONJUNTOS de los conjuntos de la columna derecha, utilice los casilleros para la respuesta

a. { 0} Q´
b. Q` R
c. - 3 Q
d. R N
e. Z+  Z- Ø


A B c D e


IV APLICACIÓN DE PRINCIPIOS
Realizar los siguientes ejercicios
1.- Dados Hallar y graficar
(1.0 punto)


2.-Sean los conjuntos A = -2, -1, 0, 1; (1.2puntos)
B = -1, 0, 1; C = -2, 2.
Hallar :
3.1 El conjunto formado por A x ( B  C)
3.2 El conjunto relación R = . ( x , y )  A x ( B  C) ; x + 2 < y  es










3.) Escriba el producto que se determina en el gráfico como una operación entre conjuntos. (1.0 punto)





3

2


1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6


















5.- Sean: (1.2 ptos)

Determine :

a)el conjunto de partida determinado por tabulación
b)el conjunto de llegada por tabulación
c)la relación:


d) el dominio de la relación
e)el recorrido de la relación











6. Sea (1.5 ptos)
Realizar lo siguiente:
v) Hallar el dominio y el recorrido
Se recomienda graficar


C. Cuestionario de Selección Múltiple ,cualquier manchón, tinta correctora, anula su respuesta (6 PUNTOS)

1. Si (x) = y g(x) = , entonces el valor de ( o g)(0) es:

a) 0 b) 1.41 c) 1.68 d) 2.45 e) 2.83
JUSTIFIQUE







2. Si S ={(3,-5),(3,7),(-8,1),(-9,0)}, entonces S-1 es igual a:

a) S-1={(-3,5),(-3,-7),(8,-1),(-9,0)}

b) S-1={(-5,3),(-7,-3),(-1,8),(0,-9)}


c) S-1=


d) S-1=

e) S-1={(-5,3),(7,3),(1,8),(0,9)}

JUSTIFIQUE










3.El conjunto solución de la operación siguiente:

( Q  Q’ )  { [ ( P  P’ )  Z+ ] – N ]’ es:

a) N b) R c) Q´ d ) vacio e ) ninguna respuesta

En donde se representan los conjuntos Q = Racional; Q’ = Irracionales; P = Pares; P’ = Impares; Z = Enteros Positivos; N = Naturales.
JUSTIFIQUE LA RESPUESTA




4., Ø { Ø }

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA


5. { Ø }no es un conjunto unitario

a) F b) V c) no se puede definir la respuesta con la información dada

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA






6..Encierre en un círculo dos ecuaciones lineales
a) 8X –5 >= 2+ 9X b) _3_ + 5 = X2 c) 5 - X - 2< 3
X

Justifique su respuesta




8.En las siguientes reglas de asignación, cuáles representan funciones invectivas? (encerrar en un circulo)

7. A cada país le asignamos su capital.

8. A la raíz cuadrada de cada número entero positivo asignarle su valor.
9. Cada número real está asociado con su valor absoluto

JUSTIFIQUE








9.En los siguientes diagramas encierre en un circulo los que considera funciones

a) A B b) A B









c) A B











I



6.- Escriba una operación entre conjuntos que represente a cada diagrama:
(9 puntos)
























II EJERCICIOS
1. Inecuaciones (6 ptos c/u)
a)
II EMPAREJAR (cada casillero correcto 1 punto)

1. Indique las afirmaciones de la columna derecha que corresponda con la columna izquierda, utilice los casilleros para la respuesta

a. A  ( A  B ) 1. Ø
b. ( A  B )  ( A`  B` ) 2. ( A  B )`
c. ( A – U )  ( Ø – B ) 3. A
d. ( B  U )  ( A  Ø ) 4. U
e. ( B U A)´ - A

a b c D e


JUSTIFICAR SUS RESPUESTAS










2.- Escriba el producto cartesiano que se observa en el gráfico (10 puntos)





























3) Encontrar (16 PUNTOS)








NOTA DEBE HALLAR EL NUEVO DOMINIO


























5.- Sea (20 ptos)
Realizar lo siguiente:
w) Indicar si es función o relación, hallar el dominio y el recorrido
x) Si es una relación convertir en función BIYECTIVA
y) Hallar su función inversa























6.- De una investigación realizada sobre las revistas que más leen las amas de casa de la ciudad de Quito se encuentra que: 34% lee Vanidades, 30% Buenhogar, 35% lee Cosmopolitan, 13% lee Vanidades y Buenhogar, 9% lee Buenhogar y Cosmopolitan, 9% únicamente Vanidades y Cosmopolitan, 32% no lee ninguna de las tres revistas y 5% lee las tres revistas.
d. ¿Qué porcentaje lee al menos dos revistas?
e. ¿Qué porcentaje si lee Vanidades no lee Buenhogar?
f. ¿Qué porcentaje lee únicamente una de las lee revistas? (20 PUNTOS)


3.- Compruebe mediante tablas de verdad, si la siguiente proposición es tautología, contradicción o indeterminación. ( 6 puntos)







4.- Demostrar la siguiente equivalencia lógica mediante leyes
(7 PUNTOS)








2.- Represente por comprensión los siguientes conjuntos: (6 PUNTOS)
a)















5.- Sean los conjuntos
U = x/x pertenece a Z ; -3 < x < 4

A = -2, -1, 0, 1; (10puntos)

B = -1, 0, 1; C = -2,-1, 2.

Hallar analíticamente El conjunto formado por A ` - ( B  C) es ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................







IV.- Lógica Matemática
1.- Realice la tabla de verdad (8 ptos)
( p v q)  p















2.- Demostrando usando las leyes de la Lógica 10 ptos
(p  q )  [(p  q )  q ]  p  q












V.- Inecuaciones
1.- Hallar la solución y representar de las tres formas 15 ptos c/u
a) ( 3x + 1 )2 – ( 3x + 2 )2  3 – 7x
















b) 8x (x – 2) +19x  (4x + 3) (2x – 2)














VI. Conjuntos 10 ptos c/u
1.- Determine por las tres formas el siguiente conjunto















2.- Sea A = {1,2,3,4,5} B = {3,4,7,9} C = { 2,4,9,1,0}
U = { Números digitos}
Hallar analíticamente (A’ C’)  ( B  A)











3.- Indique la operación que representa la superficie rayada








.................................


4.- Represente en cada diagrama de Veen la siguiente operación
[ A  ( B  C )] – A’










5.- Problema 20 ptos
190 estudiantes van a una bilioteca en la que hay 115 libros de Hall y Knight, 80 libros de Mataix, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Hall y Knight y Mataix, 30 estudiantes piden los libros de Hall y Knight y Ardura, 40 estudiantes solicitan los libros de Mataix y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un libro
a) Cuantos estudiantes piden los tres libros?
b) Cuantos estudiantes piden Mataix pero no Ardura?
c) Cuantos estudiantes piden Hall y Knight o Ardura?
d) Cuantos estudiantes piden Hall y Knight y Ardura o Mataix y Hall y Knight?

Utilice este gráfico guía






3.-Represente gráficamente los siguientes conjuntos en la recta de los reales y escriba el conjunto solución en forma de intervalos: (5 ptos c/u)
a)







b)






6.- Utilizando los gráficos adjuntos, determine el conjunto solución de la operación siguiente:
(15 PUNTOS)
















II EJERCICIOS
2. Inecuaciones (10 ptos c/u)
a)











b)








c)






d)

e)












f)










g)


(10 PUNTOS)



3.-Escriba una operación entre conjuntos que represente el diagrama
(10 puntos)












8.- En un estudio sobre 100 personas se ha determinado que los deportes que más practican son los siguientes: Futbol 46 ; Voley 36 ; Básquet 26 ; Futbol y Voley 6 ; Futbol y Básquet 12 ; Voley y Básquet 6 ; y los tres deportes 2
a) Cuantos practican Básquet o Voley, pero no ambos deportes?
b) Cuantos practican Fútbol y no Básquet?
c) Cuantos practican sólo uno de los deportes?
d) Cuantos no practican ninguno de los deportes mencionados?
(20 puntos)















3. Inecuaciones (10 ptos c/u)
a)








b)












c)




IPREGUNTAS DE RAZONAMIENTO
Usando diagramas de veen realizar los siguientes ejercicios (15 puntos c/u)

1. Jim Marshall is a section chief for an electric utility company. The employees in this section cut down tall trees, climb poles, and splice wire. Marshall recently reported the following information to the management of the utility:

Out of the 100 employees in my section:
- 45 can cut tall trees
- 50 can climb poles
- 57 can splice wire
- 28 can cut trees and climb poles
- 20 can climb poles and splice wires
- 25 can cut trees and slice wires
- 11 can do all the trees
- 9 can’t do any of the trees

With this information, do you believe that Marshall qualify as section chief?
(justificar adecuadamente)
2. The following list shows the preferences of 102 people at a winw – tasting party:

- 99 like Spañada
- 96 like Ripple
- 99 like Bone’s Farm Apple Wine
- 95 like Spañada and Ripple
- 94 like Ripple and Boone’s
- 96 like Spañada and Boone’s
- 93 like all three

How many people prefer:

a) None of the three?
b) Spañada, but not Ripple?
c) Anything but Boone’s Farm?
d) Only Ripple?
e) Exactly two kinds of wine?

3. Utilizando simbología de conjuntos, describa las siguientes operaciones:(6 puntos c/u)

a) b)





4. De acuerdo al gráfico resuelva(4 puntos c/u)




a) ( A B ) ( C D )

b) ( A B ) ( C D )
c) ( A B ) ( C D )














How many people prefer:

f) None of the three?
g) Spañada, but not Ripple?
h) Anything but Boone’s Farm?
i) Only Ripple?
j) Exactly two kinds of wine?

II Ejercicios de razonamiento (15 puntos )

Sean los conjuntos A = -2, -1, 0, 1;
B = -1, 0, 1; C = -2, 2. Realizar Grafico sagital .

a. A * ( B  C)


















Sean los conjuntos A= -1, 0, 1, B= -2. 2;
C= -1, 1. Determinar y Graficar.

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1

-2



Definir y graficar A x B si:

A = {x/x ∑ R / -2 ≤ x ≤ 4}
B = {y/y ∑ R / -1 ≤ y ≤ 3}








En las siguientes reglas de asignación, cuáles representan funciones invectivas? (encerrar en un circulo) ( 5 puntos c/u)

10. A cada letra del abecedario le nombramos vocal o consonante.
11. A cada país le asignamos su capital.
.
12. A la raíz cuadrada de cada número entero positivo asignarle su valor.
13. Cada número real está asociado con su valor absoluto





Diga cuáles son funciones sobreyectivas. (5 puntos c/u)

A B

....................................

A B


....................................




A B

................................












Clases de relaciones

Sea la siguiente relacion x/x R xR x+3y=7

a)Indicar el tipo de relacion
b)Esta relacion es funcion
c)Hallar su dominio
d)Hallar su recorrido


































Sea la siguiente relación x/x R xR

a)Indicar el tipo de relación
b)Esta relación es función
c)Hallar su dominio
d)Hallar su recorrido


c)


1.- Represente por comprensión los siguientes conjuntos: (6 puntos)


f)

20.- Escriba una operación entre conjuntos que represente a cada diagrama:






7. ]-3 ; 2[ - [-1;2)= …………………………………………………………….






5 Dados los conjuntos: A= -2, 1; B= 0, 2;
C= x/ -2  x  3. Compruebe si se cumple una de las siguientes afirmaciones.

(A * B) – (B * A)= 

(10 puntos)

III Cuestionario de Selección Múltiple (10 PUNTOS)

2. Si (x) = y g(x) = , entonces el valor de ( o g)(0) es:

a) 0 b) 1.41 c) 1.68 d) 2.45 e) 2.83
JUSTIFIQUE






3. Si f (x)= entonces =



a) b) c) d) 3x-3 e) 3x-9


JUSTIFIQUE








IV OPERACIONALIDAD
LOGICA Y CONJUNTOS
1.- Demostrar la siguiente equivalencia lógica mediante leyes (15 PUNTOS)







2.- Represente por comprensión los siguientes conjuntos: (10 puntos c/u))








INECUACIONES
a) (15 PUNTOS)










c) (10 PUNTOS)













1.- Sean: (20 ptos)

Determine y grafique
a)
b) Es una función si o no y porque










c) Cuál es el dominio?





d) Cuál es el recorrido?

d)






e)











f)

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